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证明不是为了让你相信某些事物是正确的，而是向你展示它为什么是正确的。—— Andrew Gleason一个好的证明可以使我们更聪明。——Yu．I．Manin许多工作都是在为那些已经有了证明方法的定理寻找新的证明方法，而这仅仅是因为现存的方法不够美观。许多数学的证明方法仅是让人信服，借用著名的数学物理学家Lord Rayleigh的名言，“他们迫使大家同意这些证明方法”。但其实还有许多其他优美和充满智慧的证明方法。“它们让人们欣喜并情不自禁构就蕴含在这首诗里面。——Morris Kline什么是“无需语言的证明呢？”正如你将要从这套丛书的第2季上看到的，这个问题并没有一个简单明了的答案（丛书的第1季，Proofswithout words：Exercises in Visual Thinking，已经在1993由美国数学协会出版，中文版《数学写真集（第1季）——无需语言的证明》由机械工业出版社出版）。一般地，无需语言的证明（PWWs）就是用一些图和图表来帮助读者了解为什么一个具体的数学命题是正确的，同时也让读者了解怎样去证明它是正确的。有些时候在整个证明过程中会配有一两个等式来引导读者。然而，关键之处是所提供的可视化思维能够激发读者的数学思想。在由美国数学协会出版的期刊中Pwws是王牌栏目。Pwws首先是出现在约1975年的《数学杂志》上，十年后又出现在《数学校刊》上。 但无需语言的证明并不是最近的创新，它们已经有很长一段历史了。在本书中你会发现PWWs的许多现代思想来自于古代中国、10世纪的阿拉伯和文艺复兴时期的意大利。PWWs现在也会出现在其他的杂志和期刊里，包括美国以及海外出版的杂志，甚至还会出现在互联网上。当然，有些人就认为PWWs并不是真正的“证明” （其实它们并不是“无需语言的，”因为等式都会配有一个PWW）。在James Rober Brown最近的《数学哲学：有关证明与图形世界的介绍》（1999年伦敦劳特利奇出版社）一书中有记载：“数学家，就像我们中的一些人，会珍惜聪明的想法；特别地，他们会因为一个巧妙的图形而高兴。但这种欣赏并不会淹没一个普遍的怀疑。毕竟，一个图表（当然是最好的情况下）仅仅只是一种特殊情况，所以并不能建立一个一般的定理。更糟糕的是，它也许会成为一个彻底的误导。即使不是很普遍，但一般的观点就是图画确实没有启发式教育的受益多；它们在心理暗示方面和在教学方法上是很重要的，但是却没有证出任何结论。我要反对这种观点并且要说明图画在证明过程中真的有起到一个有效的作用——是一个比启发式教育还要好很多的角色。简而言之，图形能够证明定理。”在PWWs的第1季的前言中，我建议老师能将PWWs介绍给学生们。第1季书的一些读者向我咨询，PWWs在课堂上以何种方式使用。来自各个学习水平的师生对于使用PWWs均有回复，包括在高中学习微积分的必修课程，大学教育的微积分学、数论、组合数学，以及教师的课前预习和授课中都有。PWWs经常用于补充或甚至用来代替教科书上的证明，例如：勾股定理、整数求和的公式、关于正方形以及立方体方面的问题。其他的就广泛地使用在常规作业中、额外加分的问题中、学生在课堂的自由发言当中、甚至是在单元考卷和课堂项目中。需要指出的是，该书如第1季一样总有不完备的地方。它没有包含所有的PWWs，它既没有全部包含自1993年第1季出版后出现在各类出版物上的PWWs也没有包含我编辑第1季书时搜集的所有PWWs。数学协会期刊的读者们肯定已经发现，出现在出版物中新的PWWs更加频繁了，并且它们现在也会出现在互联网上并以优越的形式展示出来。……