2019年全国硕士研究生招生考试
数学（二)考前冲刺试卷1
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
(1)当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则()
(A)a=1，b=-16。(B)a=1，b=16。
(C)a=-1，b=-16。(D)a=-1，b=16。
(2)f(x)=ln(1-x3)x·sin1x，x<0，1-cosx，x≥0，则f(x)在x=0处()
(A)极限不存在。(B)极限存在，但不连续。
(C)连续但不可导。(D)可导。
(3)设I=∫π40ln(sinx)dx，J=∫π40ln(cotx)dx，K=∫π40ln(cosx)dx，则I，J，K的大小关系为()
(A)I(C)J(4)具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()
(A)y-y″-y′+y=0。(B)y+y″-y′-y=0。
(C)y-6y″+11y′-6y=0。(D)y-2y″-y′+2y=0。
(5)设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()
(A)φ［f(x)］必有间断点。(B)φ2(x)必有间断点。
(C)f［φ(x)］必有间断点。(D)φ(x)f(x)必有间断点。
(6)周期函数y=f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，且limx→0f(1)-f(1-x)2x=-1，则y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()
(A)12。(B)0。(C)-1。(D)-2。
(7)下列矩阵中，A和B相似的是()
(A)A=100002000，B=102000000。
(B)A=210-1320-25，B=152-340234。
(C)A=10004000-2，B=20004000-3。
(D)A=110011001，B=11-1011001。
(8)设二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2-2x3)2+［-3x1+(a-1)x2+7x3］2+(x1+ax3)2正定，则参数a的取值范围是()
(A)a=-2。(B)a=-3。(C)a>0。(D)a为任意值。
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
(9)已知y=xsinx1-ex，则y′=。
(10)曲线x=cost+cos2t，y=1+sint在t=π4对应点处的法线斜率为。
(11)∫π20xcosxdx=。
(12)设函数z=f(u)可微，且f′(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz(1，1)=。
(13)设z=xf(u)+g(u)，u=yx，且f(u)及g(u)具有二阶连续导数，则x22zx2+2xy2zxy+y22zy2=。
(14)设A=(x1，x2，x3)是三阶矩阵，且A=5，若B=(x1+2x2+3x3，x2-3x3，2x2+x3)，则B=。
三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)(本题满分10分)
求不定积分∫ln1+1+xxdx(x>0)。
(16)(本题满分10分)
计算二重积分I=Dydxdy，其中D是由x轴、y轴与曲线xa+yb=1围成的区域，a>0，b>0。(17)(本题满分10分)
设函数y=y(x)由参数方程x=13t3+t+13，y=13t3-t+13确定，求函数y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。
(18)(本题满分10分)
对任意的x，y有fx2+fy2=4，用变量代换x=uv，y=u2-v22将f(x，y)变换成g(u，v)，试求满足agu2-bgv2=u2+v2的常数a，b。
(19)(本题满分10分)
设函数f(x)=lnx+1x，数列{xn}满足lnxn+1xn+1<1。证明limn→∞xn存在，并求此极限。
(20)(本题满分11分)
设函数f(x)在［0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式
f′(x)+f(x)-1x+1∫x0f(t)dt=0。
(Ⅰ)求导数f′(x)；
(Ⅱ)证明当x≥0时，不等式e-x≤f(x)≤1恒成立。
(21)(本题满分11分)
已知函数y=f(x)在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
(Ⅱ)在(0，1)内存在两个不同的点η，ζ，使得f′(η)f′(ζ)=1。
(22)(本题满分11分)
已知A，B是三阶非零矩阵，且A=135204-3-1-7。β1=（0，1，-1）T，β2=（a，2，1）T，β3=（b，1，0）T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求Bx=0的通解。
(23)(本题满分11分)
设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=-2α1-4α3，Aα2=α1+2α2+α3，Aα3=α1+3α3。
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP为对角阵。
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数学（二）考前冲刺试卷1参考答案及解析
一、选择题
(1)【答案】A
本题考查等价无穷校当x→0时，常用的等价无穷小有
x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~ex-1，
ax-1~x·lna，(1+x)a-1~ax，
1-cosx~12x2，x-sinx~16x3。
【解析】本题可采用排除法。当x→0时，ln(1-bx)与-bx为等价无穷小，则
limx→0f(x)g(x)=limx→0x-sinaxx2ln(1-bx)=limx→0x-sinaxx2(-bx)
=洛limx→01-acosax-3bx2=洛limx→0a2sinax-6bx=limx→0a2sinax-6ba·ax=-a36b=1，
所以a3=-6b，故排除B、C。
另外limx→01-acosax-3bx2是存在的，即满足1-acosax→0(x→0)，故a=1，排除D。
故本题选A。
(2)【答案】C
本题考查函数的极限、连续与可导的性质。函数在一点的极限、连续、可导均可由定义推导得出，也可以根据一些结论进行判断：
①limx→x0f(x)存在当且仅当limx→x-0f(x)与limx→x+0f(x)存在且相等；
②函数f(x)在x0点连续当且仅当limx→x-0f(x)=limx→x+0f(x)=f(x0)；
③函数f(x)在x0点可导当且仅当f′-(x0)=f′+(x0)。
【解析】f′+(0)=limx→0+f(x)-f(0)x-0=limx→0+1-cosxx=12，
f′-(0)=limx→0-f(x)-f(0)x-0=limx→0-ln(1-x3)x2·sin1x=-limx→0-xsin1x=0，
f′+(0)，f′-(0)都存在，则f(x)在x=0处右连续和左连续，所以f(x)在x=0处连续；但f′+(0)≠f′-(0)，所以f(x)在x=0处不可导。故本题选C。
(3)【答案】B
本题考查定积分大小的比较。本题在计算过程中会用到定积分的比较定理，即设a≤b，f(x)≤g(x)(a≤x≤b)，则∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx。
【解析】当0I=∫π40ln(sinx)dx<∫π40ln(cosx)dx=K。
同时，又因为
J=∫π40ln(cotx)dx=∫π40ln(cosx)dx-∫π40ln(sinx)dx，
∫π40ln(sinx)dx<0，
所以
J=∫π40ln(cotx)dx>∫π40ln(cosx)dx=K。
综上可知，I(4)【答案】B
本题考查高阶常系数齐次线性微分方程。本题已知特解求三阶常系数齐次线性微分方程，考生可由题目已知的特解得到齐次微分方程的特征根，进而得到其特征方程，从而得到结果。
【解析】由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解可知，λ1=-1，λ2=-1，λ3=1是所求方程的三个根，其特征方程为(λ-1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2-λ-1=0，其对应的微分方程为y+y″-y′-y=0。故本题选B。
(5)【答案】D
本题考查函数的间断点。所谓间断点就是函数的不连续点，考生可以根据定义判断函数是否有间断点；也可以用反证法判断函数是否连续(若连续，则必无间断点；若不连续，则必有间断点)。
【解析】取f(x)=1，x∈(-∞，+∞)，φ(x)=1，x≥0，-1，x<0，则f(x)，φ(x)满足题设条件。由于φ［f(x)］=1，φ2(x)=1，f［φ(x)］=1都是连续函数，故可排除A、B、C。故本题选D。
(6)【答案】D
本题考查导数的几何应用。曲线y=f(x)在一点的切线斜率等于该点的导数，考生要想求出该点的导数，只需根据题目已知的条件再结合导数的定义即可得出结果。
【解析】因为y=f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4k)，其中k为整数，故有
f′(x)=f′(x+4k)。
取x=1，k=1可得，f′(1)=f′(5)。
又因为
limx→0f(1)-f(1-x)2x=-1，
所以
limx→0f［1+(-x)］-f(1)-x=-2，
因此f′(1)=-2。故本题选D。
(7)【答案】D
本题考查相似矩阵的性质。矩阵A和B相似的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B；进而可得矩阵A和B相似的必要条件：①r(A)=r(B)；②A=B；③λA=λB；④tr(A)=tr(B)；⑤A和B的特征多项式相同。
【解析】A项，r(A)≠r(B)；B项，tr(A)≠tr(B)；C项，A≠B；由矩阵相似的必要条件可知，A、B、C三项错误。由排除法可知，本题选D。
实际上，对于D项，r(A)=3，特征值为1(三重)，r(A-E)=2；r(B)=3，特征值为1(三重)，r(B-E)=2,所以矩阵A和B相似。
(8)【答案】D
本题考查正定二次型的判定。若要判断二次型正定，则应给出证明，常用的方法为二次型正定的定义或充分必要条件。二次型正定的定义：设有二次型f(x)=xTAx，如果对于任何x≠0，都有f(x)>0，则称f为正定二次型。二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件：①A的正惯性指数为n，其中n为向量x的维数；②A的特征值均大于0；③A与单位矩阵E合同；④存在可逆矩阵P，使得A=PTP；⑤A的所有顺序主子式全大于0。
【解析】方法一：f(x1，x2，x3)是平方和的形式，所以f(x1，x2，x3)≥0。
f(x1，x2，x3)=0x1+x2-2x3=0，-3x1+(a-1)x2+7x3=0，x1+ax3=0，
上述方程组的系数行列式为
11-2-3a-1710a=11-20a+210-1a+2=(a+2)2+1>0，
所以a取任意值，上述方程组都有唯一零解，即对任意的x≠0，都有f(x1，x2，x3)>0，f正定。故本题选D。
方法二：
f(x1，x2，x3)=［x1+x2-2x3，-3x1+(a-1)x2+7x3，x1+ax3］x1+x2-2x3-3x1+(a-1)x2+7x3x1+ax3
=（x1，x2，x3）1-311a-10-27a11-2-3a-1710ax1x2x3=xTBTBx=xTAx，
其中A=BTB且AT=A。
B=11-2-3a-1710a=11-20a+210-1a+2=(a+2)2+1>0，
其中a为任意值，所以对任意的a，矩阵B均可逆，则A=BTB正定，即f(x1，x2，x3)是正定二次型。故本题选D。
二、填空题
(9)【答案】12xsinx1-ex1x+cotx+12·exex-1
本题考查函数导数的计算。对于一些较简单的函数求导题目，考生可以直接求解；对于一些较复杂的函数求导题目，考生可以先对函数进行变换，将其转化为较易求解的形式，再进行求导。
【解析】等式两边同时取对数，则有
lny=12lnx+lnsinx+12ln(1-ex)，
等式两边分别对x求导，得
y′y=121x+cosxsinx+12·-ex1-ex，
整理得
y′=12xsinx1-ex1x+cotx+12·exex-1。
(10)【答案】2+1
本题考查参数方程及其导数的几何应用。曲线在一点的法线斜率等于曲线在该点的导数斜率的负倒数，且曲线在一点的切线斜率等于曲线在该点的导数值。本题在计算过程中还涉及参数方程的求导：若y=y(x)是由参

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《中公版·2019考研数学：考前冲刺5套卷（数学二）（新大纲）》考研数学（二）试卷包含高等数学、线性代数两个科目，试卷共150分。其中高等数学分值占总分的78%，线性代数占22%。试卷题型包含选择题8个，填空题6个，解答题（包括证明题）9个。

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