2019年全国硕士研究生招生考试
数学（一）考前冲刺试卷1
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
（1）limt→03(cost-e-t22)t4=（）
（A）0。（B）-14。（C）-18。（D）-112。
（2）设函数f（x）在［a，b］上连续，且0（A）0个。（B）1个。（C）2个。（D）无穷多个。
（3）函数项级数∑∞n=1(3x+2)nn的收敛域为（）
（A）（-1，1）。（B）-13,13。（C）-1,-13。（D）-1,-13。
（4）设直线L为2x-y+3z+3=0,x+y-2z+1=0,平面Π为3x-21y-9z-2=0，则（）
（A）L平行于Π。（B）L垂直于Π。
（C）L在平面Π上。（D）L与平面Π相交但不垂直。
（5）设A是n阶可逆方阵（n≥2），A*是A的伴随矩阵，则（A*）*＝（）
（A）An＋1A。（B）An-1A。（C）An＋2A。（D）An-2A。
（6）设α1，α2，α3，α4，β都是四维列向量，A＝（α1，α2，α3，α4），非齐次线性方程组Ax=β有通解kξ+η=k(2,1,0,-1)T+(3,-1,2,1)T，其中k为任意常数，则下列关系式中不正确的是（）
（A）β-3α1+α2-2α3-α4=0。（B）β+52α2-2α3-52α4=0。
（C）α1-α2＋2α4-β＝0。（D）β-5α1-2α3=0。
（7）设随机变量X与Y均服从正态分布，其中X～N(μ,9),Y～N(μ,16)，记p1=P{X≥μ+3},p2=P{X≤μ-4}，则（）
（A）对任意实数μ，都有p1=p2。
（B）无论μ取任何实数，都有p1≠p2。
（C）对任意实数μ，都有p1>p2。
（D）对任意实数μ，都有p1（8）设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本，X是样本均值，S2是样本方差,则n(X-μ)2σ2+(n-1)S2σ2服从（）
（A）自由度为n-1的χ2分布。（B）自由度为n的χ2分布。
（C）自由度为n-1的t分布。（D）自由度为n的t分布。
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
（9）设曲线y=x2+1(x>0)，过原点作其切线，则以曲线、切线及y轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的表面积为。
（10）向量场(2z-3y,3x+z,4y-x)在点M(x,y,z)处的旋度rotA=。
（11）曲线积分I=∫AB(2xey+y3sinx-2y)dx+(x2ey-3y2cosx-2x)dy，其中曲线AB为圆x2+y2=4上位于象限的弧，即A(2,0)到B(0,2)的弧，则积分I=。
（12）方程y″-4y+3y′2=0(y≠3)的通解为。
（13）设四阶方阵A＝（α，γ2，γ3，γ4），B＝（β，γ2，γ3，γ4），其中α，β，γ2，γ3，γ4均为四维列向量，且A=2，B=1，则A-4B=。
（14）已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1,λ2的泊松分布，已知P{X1+X2>0}＝1-e-2，则E(X1+X2)2＝。
三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
设f(x)连续，且∫x0tf(x+t)dt=2x+1x2，已知f(2)=1。求积分∫21f(x)dx的值。
（16）（本题满分10分）
求幂级数∑∞n=0(-1)n2n+1x2n的收敛域及和函数，并求∑∞n=0(-1)n2n+1·14n的和。
（17）（本题满分10分）
设函数f(x)在［a，b］上连续，在（a，b）内可导且f(a)≠f(b)，试证明存在η,ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)3ξ2=f′(η)a2+ab+b2。
（18）（本题满分10分）
计算曲面积分I=S2x3dydz+3y2dzdx，其中S是椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1的上半部分的上侧。
（19）（本题满分10分）
求内接于x2a+y2b+z2c=1（其中a,b,c>0）的长方体体积的大值。
（20）（本题满分11分）
设矩阵A=-3-22-a1a-4-23，当a为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ，并求出此时的矩阵P和相应的对角矩阵Λ。
（21）（本题满分11分）
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+6x22+3x23-4x1x2-8x1x3-4x2x3，其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。
（22）（本题满分11分）
设随机变量X的概率密度为f(x)=12x,0（Ⅰ）A与B的值；
（Ⅱ）Y=eX的数学期望。
（23）（本题满分11分）
设总体X服从［0,θ］上的均匀分布，X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试求：
（Ⅰ）未知参数θ的矩估计量和大似然估计量；
（Ⅱ）大似然估计量是否为θ的无偏估计量，为什么？2019年全国硕士研究生招生考试
数学（一）考前冲刺试卷1参考答案及解析
一、选择题
（1）【答案】B
本题考查00型未定式极限的求解。可用洛必达法则（结合等价无穷小替换）或泰勒公式来解答，泰勒公式对所求极限的要求较少，因此多数情况下用泰勒公式。
【解析】方法一：利用洛必达法则和等价无穷小替换求此极限，
原式=3limt→0-sint+te-t224t3=3limt→0-cost+e-t22-t2e-t2212t2
=3limt→01-cost12t2+3limt→0e-t22-112t2-14
=3124-124-112=-14，
其中用到等价无穷小替换1-cost~t22（t→0),e-t22-1~-t22(t→0)。故本题选B。
方法二：利用泰勒公式求此极限，首先
cost=1-t22!+t44!+ο(t4)(t→0),e-t22=1+-t22+12!-t222+ο(t4)(t→0)，
上述两个泰勒展式相减，得
cost-e-t22=14!-12!·14t4+ο(t4)=-112t4+ο(t4),
因此可得原式等于-14。故本题选B。
（2）【答案】A
本题考查方程根的个数的判断及变限积分求导。先判断F(x)=∫xa1f(t)dt+∫bxf(t)dt在区间端点处的正负及函数在区间上的单调性，然后判断根的个数。
【解析】设F(x)=∫xa1f(t)dt+∫bxf(t)dt，则F(x)在［a，b］上连续，且
F(a)=∫baf(t)dt>0，F(b)=∫ba1f(t)dt>0，
对F(x)求导可得F′(x)=1f(x)-f(x)>0，
因此F(x)在（a，b）上单调递增，F(x)在（a，b）内没有实根。故本题选A。
（3）【答案】C
本题考查求函数项级数的收敛域。令y=x+23，将原级数变形化简，利用比值审敛法求关于y的级数的收敛半径，结合端点处级数的敛散性得出收敛域，后再求出原级数的收敛域。
【解析】∑∞n=1(3x+2)nn=∑∞n=13nx+23nn，令y=x+23，则原级数变为∑∞n=13nynn。因为
ρ=limn→∞an+1an=limn→∞3n+1n+1·n3n=3，
故R=13。又因为y=13时，∑∞n=11n发散；y=-13时，∑∞n=1(-1)nn收敛，故∑∞n=13nynn的收敛域为-13,13，即y=x+23∈-13,13，x∈-1,-13，因此-1,-13是原函数项级数的收敛域。故本题选C。
（4）【答案】B
本题考查空间解析几何直线与平面的位置关系。分别求出直线的方向向量和平面的法向量，两向量对应分量成比例，则直线与平面垂直；两向量的数量积等于0，则直线平行于平面或在平面上。
【解析】直线L的方向向量为s=ijk2-1311-2=(-1,7,3)，平面Π的法向量为n=(3,-21,-9)，因为3-1=-217=-93，因此直线L和平面Π垂直。故本题选B。
（5）【答案】D
本题考查伴随矩阵的性质。主要利用公式AA*＝AE和A*＝An-1推导。
【解析】根据公式AA*＝AE，可得（A*）（A*）*＝A*E，因此（A*）*＝A*（A*）-1。又因为A*＝An-1，（A*）-1＝AA，所以
（A*）*＝An-1AA＝An-2A。
故本题选D。
（6）【答案】C
本题考查齐次线性方程组解的性质及通解的结构。利用解的性质写出解向量之间的关系式，结合线性相关的性质得出不论k取何值，等式中都不能缺少α3。
【解析】根据线性方程组有通解kξ+η可知
β=(α1,α2,α3,α4)(kξ+η)=(α1,α2,α3,α4)2k+3k-12-k+1
=(2k+3)α1+(k-1)α2+2α3+(-k+1)α4，
即β-(2k+3)α1-(k-1)α2-2α3-(-k+1)α4=0，其中k是任意常数，可见α1，α2，α3，α4，β线性相关，上述线性组合为0的式子中不能没有α3，C选项没有α3，故C选项不正确。
当k＝0时A选项成立；k＝-32时B选项成立；k＝1时D选项成立。故本题选C。
（7）【答案】A
本题考查正态分布的标准化及标准正态分布的性质。先将题中的两个正态分布标准化，再利用正态分布的性质Φ(-x)=1-Φ(x)得出结论。
【解析】用Φ(x)表示标准正态分布N（0，1）的分布函数，则
p1=PX-μ3≥1=1-PX-μ3<1=1-Φ(1)，p2=PX-μ4≤-1=Φ(-1)。
由于Φ(-1)=1-Φ(1)，因此p1=p2，即对任意实数μ，都有p1=p2。故本题选A。
（8）【答案】B
本题考查χ2分布和t分布的定义和性质。题干所需判断的随机变量是由两部分组成的，可以分开判断，利用χ2分布或t分布的性质求自由度。
【解析】因为总体X～N(μ,σ2)，所以(n-1)S2σ2～χ2(n-1)。
又因为X～Nμ,σ2n，所以n(X-μ)σ～N(0,1)，n(X-μ)2σ2～χ2(1)。
由于X和S2独立，由χ2分布的可加性可得n(X-μ)2σ2+(n-1)S2σ2～χ2(n)。故本题选B。
二、填空题
（9）【答案】16(115-1)π
本题考查旋转体的表面积公式。求出曲线过原点的切线方程，然后分别求出切线和曲线绕y轴旋转所成旋转体表面积，两者相加即可。
【解析】设切点为(x0,x20+1)，则过原点的切线方程为y=2x0x，把点(x0,x20+1)代入切线方程，可得x0＝1，y0＝2，因此切线方程为y=2x。切线y=2x(0＜x≤1)绕y轴旋转一周所得旋转体的侧面积为
S1=∫202πx1+(y′)-2dy=∫202π·12y1+14dy=5π。
由曲线y=x2+1(0S2=∫212πx1+(y′)-2dy=∫212πy-11+12y-12dy=π∫214y-3dy=π6(55-1)。
所以，所求旋转体表面积为S=S1+S2=5π+π6(55-1)=16(115-1)π。
（10）【答案】(3,3,6)
本题考查旋度的计算。设向量场为A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，则A在点(x,y,z)处的旋度为
rotA=Ry-Qzi+Pz-Rxj+Qx-Pyk。
【解析】向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在点(x,y,z)处的旋度为
rotA=ijkxyzPQR。
已知P=2z-3y,Q=3x+z,R=4y-x，则
rotA=ijkxyz2z-3y3x+z4y-x=(4-1)i-(-1-2)j+(3+3)k=(3,3,6)。
（11）【答案】-12
本题考查曲线积分与路径的无关性。曲线积分I=∫ABPdx+Qdy，当在区域D内，处处都有Py=Qx成立，则I=∫ABPdx+Qdy只依赖于起点和终点，与所选路径无关。
【解析】根据题意，设P=2xey+y3sinx-2y,Q=x2ey-3y2cosx-2x，且满足

2019年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷1

2019年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷2

2019年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷3

2019年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷4

2019年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷5

赠品：考研数学（一）考情分析及备考手册(PDF版)

《中公版·2019考研数学：考前冲刺5套卷（数学一）（新大纲）》考研数学（一）试卷包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个科目，试卷共150分，其中高等数学分值占总分的56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。试卷题型包含选择题8个，填空题6个，解答题（包括证明题）9个。

本书专为参加2019年考研数学（一）的考生量身定做，全书共包括5套考前冲刺试卷，每套试卷的题型、题量和难易程度均与大纲和真题保持一致。每道题目均包含【思路点拨】和【解析】，思路点拨指出本题的解题突破口及整体思路，题目解析详细严谨。

此外，本书附赠近15年考情分析和备考手册（pdf电子版）。考情分析指出近15年考研数学（一）每个题目的考点，并对出题规律进行了总结、对考试趋势进行了预测。备考手册不仅包含考研数学的复习安排，还包含了考研数学临场应战技巧。

因印刷批次不同，图书封面可能与实际展示有所区别，增值服务也可能会有所不同，以读者收到实物为准。

《中公版·2019考研数学：考前冲刺5套卷（数学一）（新大纲）》 一、捕捉核心考点，传递15年考情。

本书含2004～2018年共15年考研数学（一）的考情分析及备考手册（pdf电子版）。考情分析中重点分析了历年真题的题型、题量，以及每道题的考点，并预测了每科的考试趋势，方便考生查看高频考点，抓住复习重点。考研数学备考手册包含不同阶段的复习策略及考场应试技巧。

二、依据2019新大纲，命题重点突出。

本书的试卷严格按照2019年考研新大纲的要求研发，题型、题量及试题难度均与新大纲和真题保持一致。每套试卷的答案解析侧重剖析试题精髓，重点点拨解题思路，尤其每个题目都包含【思路点拨】，帮助考生熟悉题目考点，做到举一反三，针对薄弱科目进行提升。

三、一套一册装订，方便考生自测。

本书每一套冲刺试卷和答案解析装订成一册，共5个套题册，方便考生携带练习，模拟考场进行自检自测，给考生身临其境的感觉。

四、移动自习室，体验智能时代学习的快捷。

购书享有中公教育移动自习室多样增值服务，考生可利用碎片化时间，随时随地上自习。考生在复习过程中，有任何疑惑都可以在微信考友圈提出，我们的老师会时间帮助考生解答。