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数的家园
	曾用价	98.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2008年05月
	开本	16
	著编译者	赵焕光
	页数	363
	ISBN编码	9787030212948

内容介绍
本书介绍数系(自然数→整数→有理数→实数→复数→四元数→超穷数)的基本理论及数系在现实生活中的应用，探讨数系与人文(包括中国传统文化)的联系，追问数系诞生的历史源头，包括数字解读字的意义，认识数的前楼梯、自然数与整数、有理数与无理数、复数与四元数、元穷与超穷数等内容。


目录
目录
《通俗数学文化丛书》序
序
前言
第1章 漫谈数字 1
1.1 数字的意义 1
1.1.1 数字的作用 1
1.1.2 数字与民俗 4
1.1.3 数字入诗 8
附录A 与数字有关的三个人文地理话题 12
1.2 数字与记数 14
1.2.1 印度-阿拉伯数字及十进制记数法 15
1.2.2 中国数字与中国历史上的干支记数法 18
1.2.3 二进位制数及《易经》中的八卦 21
1.2.4 罗马数字及其他进位制 33
附录B 英语中的数词 38
1.3 大数字 42
1.3.1 科学记数法与数字分级 42
1.3.2 大数字溯源 46
1.3.3 大数字迷惑及生理学解释 48
1.3.4 大数字的模型与精彩比喻 52
1.3.5 大数字研究及应用 53
1.3.6 关于大数字的四个经典故事 57
1.3.7 大数字理论与现实背离的3个例子 63
附录C 与大数字相关的3个话题 66
第2章 认识数的前楼梯 75
2.1 集合 75
2.1.1 集合概念 76
2.1.2 集合的生成原则与集合的表示方法 80
2.1.3 子集与集合相等 81
2.1.4 集合运算 82
2.1.5 派生新集合的方法 85
附录D 与集合论相关的3个话题 85
2.2 关系 91
2.2.1 二元关系 92
2.2.2 关系的某些特殊性质 95
2.2.3 等价关系与等价类 96
2.2.4 序关系 98
2.3 映射 99
2.3.1 映射的定义 100
2.3.2 映射的简单应用 102
2.4 运算 105
2.4.1 运算与代数系统 105
2.4.2 运算律 107
2.4.3 群、环、域 108
2.4.4 同构与扩张 110
第3章 自然数与整数 113
3.1 自然数 113
3.1.1 自然数的定义 114
3.1.2 自然数的运算 123
3.1.3 自然数的顺序 126
3.1.4 追问自然数诞生的源头 127
3.1.5 有趣的自然数赋值计算式 133
3.1.6 用自然数堆积的“金字塔”与“宝塔诗” 135
附录E 关于自然数的两个话题 138
3.2 “0” 145
3.2.1 好事多磨的“0” 145
3.2.2 多姿多彩的“0” 147
3.2.3 “0”的特异功能 151
3.3 负数与整数 152
3.3.1 数系扩充的基本原则与方法 153
3.3.2 整数的自然扩张(生成)法 154
3.3.3 整数的逻辑扩张(生成)法 155
3.3.4 为什么人们认识负数那么困难? 157
3.3.5 关于“＋,－”符号的逸闻趣事 159
附录F 与负数相关的两个话题 161
第4章 有理数与无理数 165
4.1 有理数 165
4.1.1 分数 166
4.1.2 有限小数 172
4.1.3 估算与近似计算 175
4.1.4 追问分数与小数诞生的历史源头 180
附录G 分数趣味题集锦 185
4.2 无理数(实数) 188
4.2.1 无理数的意义 189
4.2.2 无限小数 190
4.2.3 康托尔基本序列说 196
4.2.4 戴德金分割说 201
4.2.5 实数公理化定义 206
4.2.6 带根号的无理数家族 210
4.2.7 追问无理数产生的历史源头 218
附录H 若干有理数与无理数趣味题 220
4.3 连分数 224
4.3.1 连分数的定义与例子 225
4.3.2 若干连分数的重要结论 228
4.3.3 连分数在天文学中的应用 229
附录I 追问计时源头及计时方法 233
第5章 复数与四元数 249
5.1复数 249
5.1.1复数意义解读 250
5.1.2复数概念解释及表示 255
5.1.3复数四则运算的几何意义 264
5.1.4复数的幂、单位根、代数基本定理 265
5.1.5复数的重要特性 271
5.1.6追问复数诞生的源头及其发展状况 272
附录J 复数趣味性思考题 278
5.2 四元数 281
5.2.1 四元数概念 282
5.2.2 四元数的意义 284
5.2.3 四元数发现过程浏览 285
5.2.4 后四元数 292
5.2.5 四元数与数字们的争论 293
附录K 关于四元数的若于思考题 296
第6章 无穷与超穷数 298
6.1 相识元穷 298
6.1.1 何谓元穷? 299
6.1.2 无穷存在吗? 306
6.1.3 元穷能认识吗? 307
6.1.4 如何认识无穷? 310
6.1.5 无穷的时间与空间 318
6.1.6 潜元穷与实元穷之争 320
6.1.7 无穷不可知论 324
6.1.8 认识元穷的三个误区 325
6.1.9 元穷的源头及无穷认识发展史 332
附录L 与无穷相关的几个趣味话题 337
6.2 基数一一无穷集大小比较的理论 341
6.2.1 对等与基数 341
6.2.2 基数比较 343
6.2.3 有限集 345
6.2.4 可数集 347
6.2.5 基数c与基数f 350
6.2.6 基数运算 351
附录M 与无穷基数有关的三个趣味话题 352
6.3 序数无穷集排序的理论 355
附录N 连续统假设 358
参考文献 359

在线试读
第1章漫谈数字
本章分3节:数字的意义、数字与记数、大数字.第1节由3个与数字相关的话题及3个附录组成;第2节对几种常用的数字及记数方法作较详细介绍,其中涉及中国八卦等传统文化的话题;第3节是本章的重点,篇幅比较长,涉及与大数字相关的许多话题.其中大数字迷惑及生理学解释、创世纪的那场洪水、关于大数字的4个经典故事、数字理论与现实背离的3个案例颇有意思,作者盼望能吸引阅读者的注意力.
1.1数字的意义
本节由“数字的作用”、“数字与民俗”、“数字入诗”等3个核心话题组成,同时介绍与数字相关的三个人文地理话题(附录A).
1.1.1数字的作用
人们通常把0,1,2,3,…称为数字,也称数码.就像文字与语言一样,数字是人类为了认识自然界与人类自身而创造的一种认识工具.从哲学意义上说,数字代表自然界的**意义(本原),人类文明进化离不开数字,数字也深深地依赖于可构造它的特定人类.
数字起源于“数”,数字是所有数学赖以确立的基本要素.世界上没有一位数学家能真正认识数字的深层意义,但数字却几乎影响到人类生活的所有方面,人们每天都要跟数字打交道.
首先,人们常常用数字来区别物体(识别标志).例如,电话号码、邮政编码、汽车驾驶牌照号码、护照号码、银行账户号码、社会保障凭证号码、商场中商品的条形码等.
其次,人们常常用数字来编排物体顺序(排序).例如,体育比赛中的名次、阅卷评分(等级制)、城市街道上房屋门牌编号等.数字的这种用法在数学上称为序数,序数通过皮亚诺公理得到形式化,其发展**就是超限序数.序数的根本特性在于数字的先后次序,如知道了一条街道两幢房子的门牌号码就可以知道它们在这条街上的相对位置,一个大号码的门牌要在一个小号码的门牌的上面或下面,只要知道这条街的门牌编号方法就很清楚.
数字的重要性不仅仅限于如上所述显而易见的实用功能,更重要的方面体现在数字是如何影响到人们对世界的思考.人类智力发展的主要因素之一,就是希望了解人类所生存的物质世界和生命世界的意义.人类探索历史是为了找到线索来解释现实世界的状况,人类发明理论是为了预测未来、美化生活.无论是描述还是解释现实世界,人们都必须用数字回答“多少”这类问题.例如,世界人口总数、国民生产总值、国土面积、河流长度、海洋面积、大气层的温度、湿度和压力、空气质量指数;石油、天然气、煤矿的储存量;动(植)物物种的数量、分布及其生长速度;日常企业经济活动中的收入、成本和利润;声、光的强度和频率等.这里的一切,实际上都是数字表征量.
至于量,天然与数脱离不了关系.量与数的联系到底有多密切,我们可以用华罗庚先生的名言来表述:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在,凡是出现‘量’的地方就少不了用数学,研究量的关系、量的变化、量的变化关系、量的关系的变化等现象都少不了数学.”从华罗庚先生的话中可以看到,量必须用数学来刻画.我们认为:这里所说的数学,侧重点应该是指用“数”表述的学说.实际上,没有数,量就无法表述.其实,远在亚里士多德时代,人们早已认识到,量就有离散量(如人口、行星、苹果等)和连续量(如空气、水、火等)之分.对应于离散量的这种数字用法,数学上称其为数量数;对应于连续量的这种数字用法,数学上称其为度量数(或计量数).数量数可通过集合的势(也称基数)得到形式化,其发展**就是无限基数;度量数在有理数域中得到形式化,并且通过极限过程得到实数.
大科学家爱因斯坦曾经说过“数字和宇宙同等重要”.无疑数字是人们建立科学理论的语言.如果没有数字,人们就无法进行测算,从而也就无法获得支持科学理论的关键证据.为了强调数字的重要性,人们可以试着想象一下,如果没有数字,世界将会变成怎么样.事实上,如果世界上没有计数,没有所得税,没有用数字表征的钱,不同国家甚至包括个人之间就无法开展贸易,人们充其量只能做以货易货的交易(还是离不开数字,如一头猪能交换几把匕首等);如果没有数字,就不会有很多人所喜欢的体育运动,譬如乒乓球、羽毛球、篮球、排球和足球,它们都需要用数字来确定一边有几名运动员并用数字进行记分,很多体育项目(如田径)必须使用数字记载世界纪录,要想参加奥运会必须超过某个数字确定的标准等;如果没有数字,人们就无法建立物理学的基本理论,譬如开普勒行星运动定律、牛顿运动定律或爱因斯坦的E＝mc2;如果没有数字,现代化学、生命科学、心理学、人类学、社会学、经济学,甚至包括人文味特浓的历史学都无法做深入研究,我们在这里不再一一举例说明.
1.1.2数字与民俗
“数字崇拜”与“数字忌讳”的现象,不论在东方还是西方,自古至今都存在着.其实,数字只不过是人们所创造的一种符号,用作交流工具而已,不必把数字的含义看得太神秘.所谓“崇拜”与“忌讳”,从深层次的意义上看,充其量只是一种心理表现.如果太投入了,就会与迷信结下不解之缘;如果从人文欣赏的角度去面对,也许对提高人们学习数学的兴趣有益处.这里的素材大部分取自徐品方、张红著的《数学符号史》及易南轩著的《数学美拾趣》.
数字“0”:古印度人认为以“0”结尾的数字吉利;古罗马人认为“0”是邪恶的象征.
数字“1”:中国人认为“1”是从无到有的象征,“道生一,一生二,二生三,三生天地,天地生阴阳,阴阳生万物”;毕达哥拉斯学派认为“1”代表“同一”、“至高无上”,它是万物的开端,一切的根源;古巴比伦人认为“1”不吉祥,一万称为“黑暗”,一万万则是“黑暗的黑暗”.
数字“2”:毕达哥拉斯学派认为“2”代表“对立”、“意见”,还代表“女人”或“爱情”;古希腊学派认为“2”是“病魔的象征”.
数字“3”:在佛教中“3”代表“天、地、人”;古埃及人认为“3”代表“父、母、子”;**中认为“3”代表“圣父、圣子、圣灵”三位一体;毕达哥拉斯学派认为“3”代表“实在”;中国人认为“3”代表“尊贵成功”,史记云:“数始于一,终于十,成于三.”不少伟人认为“3”是“成功的标志”.亚里士多德说,“人类所需知识有三类:理论、使用、鉴别”;法国生物学家马斯德说,“人生目标有三:立志、工作、成功”;法国天文学家戴布劳格林谈成功人生三要素:“广见闻、多阅读、勤实践”;法国文学家卢梭谈读书三步骤:“储存、比较、批判”;中国数学家陈景润谈学习要有三心:“信心、决心、恒心”;中国大文人郭沫若谈青年成才必须具备三基础:“思想基础、科学基础、语文基础”.
数字“4”:毕达哥拉斯学派认为“4”表示公平;阿拉伯人认为“4”代表“****”;中国人与日本人忌讳“4”,认为“4”与“死”同音,中国人还认为阴历初四、十四、二十四这3天为不吉祥之日,温州人不喜欢用含“4”的门牌号码、汽车牌照等;但中国人也有对“4”颇欣赏的场合:古四书、四大名著、四大民间传说、四大书法体、猜拳中的四喜红等.
数字“5”:毕达哥拉斯学派喜欢“5”,“5”＝“3”＋“2”是男人和女人的联合、爱情的象征;但西方大多数国家认为星期五是凶日,俗称“黑色星期五”.
数字“6”:中国从秦始皇时代开始,就认定“6”有吉祥之意,就连猜拳中都有口令“六六顺,哥俩好”;毕达哥拉斯学派与神学家认为“6”是完全数(小于自身的因数之和等于自身),这与《**》有联系,《**》“创世纪”篇中记载:“上帝造物之始,第一天传播光明,第二天创造空气,第三天聚水成海,第四天日月经天,第五天游鱼飞雀,第六天塑造人类与走兽;这时上帝完成了创造世界,开始了第七天的休息.”神学家们认为“正是因为造物主用6天时间创造万物,所以6成了完全数”.日本人认为带“6”的礼物是送给强盗的.在《**》中,三个“6”字连写却是魔鬼的代号.因此,在西方大多数国家的人都回避“666”这个数字.
数字“7”:招人喜欢又神秘.“7”是最神圣的数字,世上许多事物(件)按7来循环.一周有7日;7星辰(日、月、金、木、水、火、土);开门7件事“柴、米、油、盐、酱、醋、茶”;人有七情“喜、怒、哀、乐、悲、恐、惊”;天堂分7层(基督教);万物皆由7种原(地、水、风、火、空、识、垠)生成(佛教).但中国也有人认为“7”不吉利,“7”与“去”谐音,是不祥之数.在中国某些农村中,老人去世的忌日是按“7”计算的:头七、二七、三七......七七”等.
数字“8”:在佛教中,“8”是神圣的数字;在中国民间,认为“8”是吉祥幸运的数字;在广东话中,“8”与“发”同音;在猜拳中有“八大利”的口令就是较好的说明.在温州带有多个“8”字的汽车牌照号码能拍卖出很高的价格;中国还有不少城市的风景名胜与“8”字结下不解之缘.例如,北京有“燕京八景”,西安有“关中八景”,甘肃有“天水八景”,四川有“丰都八景”,广西有“桂林八景”,上海有“沪上八景”,浙江有“普陀八景”,河南有“洛阳八景”和“开封八景”,南国广州有“羊城八景”,湖北有“当阳八景”,厦门有“大八景和小八景”等.此外,在数学中横写的“∞”代表无穷大,意味着“事业成功、生活幸福、爱情美满”.
数字“9”:中华民族最崇拜数字“9”,《易经》中视“9”